Урок математики в 7-м классе по теме "Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений"

Разделы: Математика

Цель урока

  • Учебная: вывести формулы возведения в квадрат суммы и разности двух выражений и вырабатывать знания, умения и навыки по использованию данных формул.
  • Развивающая: развития наблюдательности, способности увидеть закономерность, умения формулировать гипотезу и доказать ее
  • Воспитательная: воспитание внимательности, терпения, критичности, понимания одноклассников.

План урока:

  1. Постановка цели урока.
  2. Формулировка гипотезы и доказательство формул.
  3. Первичное закрепление изученного материала.
  4. Применение выведенных формул.
  5. Итог урока.
  6. Задание на дом.

Ход урока

1. Цель урока.

При изучении темы “Умножения многочлена на многочлен” необходимо постоянно следить за правильностью выполнения умножения многочлена на многочлен, приводить подобные слагаемые. Как видно по результатам контрольной работы не всем это удается выполнять без ошибок и возникает вопрос “А нельзя ли хотя бы в каких-то случаях упростить данное действие?” Оказывается, такой вопрос существовал около 4 тыс. лет тому назад. Давайте и мы постараемся ответить на него.

2. Формулировка гипотезы и доказательство формул.

Выполните умножение

  1. (а – 1)(а – 1)
  2. (а – 3)(а – 3)
  3. (3 – а)(3 – а)
  4. (-а – 3)(-а – 3)
  5. (2 + х)(2 + х)
  6. (2 + х)(3 – х)

Шесть учеников выполняют задание на доске.

Учитель: Давайте сравним полученные результаты и выдвинем гипотезы (предположение).

(Ученики высказывают свои предположения и выбирают с учителем более приемлемые формулировки.)

Гипотеза 1: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенного произведения первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Задание. Запишите это высказывание в виде формулы. (Ученики предлагают, а учитель записывает на доске, затем совместно выбирается правильный вариант.)

(а – в)2 = а2 – 2ав + в2.

Задание. Докажите эту формулу.

(Один из учеников доказывает формулу у доски.)

Гипотеза 2:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенного произведения первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Задание. Запишите это высказывание в виде формулы и докажите. (Выполняет на доске один из желающих учеников) (а + в)2 = а2 + 2ав + в2

Гипотеза 3:

Квадраты противоположных выражений равны.

Задание. Запишите это высказывание в виде формулы и докажите. (Выполняет один из учеников на доске) (а – в)2 = (в – а)2;

(а + в)2 = (-а – в)2.

Итак, на уроке мы сформулировали и доказали четыре формулы.

  1. (а – в)2 = а2 – 2ав + в2;
  2. (а + в)2 = а2 + 2ав + в2;
  3. (а – в)2 = (в – а)2;
  4. (а + в)2 = (-а – в)2.

Слово учителя: Эти формулы относятся к формулам сокращенного умножения, которые были известны еще около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно и геометрически.

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ав”, а “прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в”.

Например, тождество (а + в)2 = а2 + 2ав + в2 во второй книге “Начал” Евклида (3 век до н.э. формулировалось так: “Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками”. Доказательство опиралось на геометрические соображения. Выполните рисунок.

(Несколько учеников выполняют рисунки на доске и защищают свой проект.)

3. Первичное закрепление изученного материала.

Для закрепления изученного материала выполним устные упражнения.

Квадрат суммы и разности двух выражений

Задания для устного счета, упражнение 16.

№ 806 вместе выполняем на доске и в тетрадях.

Из выражений (у – х)2, (у + х)2, (-y + x)2, (-x + y)2, (-x – y)2 выберите те, которые тождественно равны выражению:

а) (х + у)2;
б) (х – у)2.

4. Применение выведенных формул.

Учитель: Ребята, вы прекрасно сориентировались в формулах квадрата суммы и квадрата разности и скажите, где же вы их будете применять?

Ученики отвечают: для доказательства тождеств, для упрощения выражений, для нахождения значений выражений, для решения уравнений, для решения задач.

Учитель: Эти формулы можно использовать для возведения в квадрат чисел, таких как 101, 59. Как это можно выполнить.

Обсуждение и выбирается правильное решение.

Следующий этап закрепления самостоятельный, с консультацией по необходимости у учителя, № 804 (а, в, д), № 810 (в, д, ж), № 812 (а, в, д), № 814 (а, в, д).

5. Итог урока.

Давайте проанализируем, что мы смогли сделать за этот урок.

6. Домашнее задание.

п. 32 квадрат суммы и квадрат разности, п. 33 контрольные вопросы 1, 2, 3 № 803, № 805, № 812.

Литература:

  1. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. Учреждений /[Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2008.
  2. http://www.mathvaz.ru
  3. Microsoft PowerPoint